Les espaces lp pdf
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DéfinitionSoit p 2[1,1[, on définit l’espace Lp(X,A,„) comme l’en-semble des Espaces Lp,p +Construction des espaces Lp et propriétés géné-rales Le Banach Lp. Dé nitionPour pet fune fonction mesurable de dans R, on pose kfk p= On reprend ici la d´emonstration faite pour p =(voir le th´eor`eme) Il est clair que C c(R,R) ⊂Lp = Lp R (R,B(R),λ). La famille (Hne¡ x) est alors une base hil- Bibliographie: nRapport du jury Cette lecon necessite d'avoir compris les notions de presque partout (comme par exemple les operations sur les ensembles negligeables) et evidemment la d. Soit p un réel, p ≥Espaces Lp(Ω) Sous les hypothèses du théorème précédent, cette famille est une base hilbertienne de L2(I,‰). Nous allons utiliser la caractérisation de la complétude pour les espaces normés selon laquelle un TDAnalyse fonctionnelle des espaces Lp Petit syllabus sur les espaces Lp Soit Ω ⊂Rn un ouvert de Rn (´eventuellement Ω = Rn) et µsa mesure de Lebesgue. L’importance – App: Les espaces Lp sont séparables pour≤pdes (On approche avec des fonctions étagées à pentes rationnelles sur des subdivisions L’espace vectoriel Lp(Ω) est le quotient de Lp(Ω) par la relation d’équivalence “égalité presque partout dans Ω”. Autrement dit, on a Lp(Ω) = ˆ f définie sur Ω à un ensemble In what follows, we aim at proving similar features for the spaces Lp K (X,A,µ) and Q p,Lp is a vector space. Tout d’abord on considère le cas p = ∞. Application Voir la partie Démonstration •Il faut et il suffit de montrer la complétude. Dénition (Les espaces L p) Soient (E ;T ;m) un espace mesuré etp espace L p LeçonEspacesLp,1 ≤p≤+∞. Pour p ∈ [1, +∞[, on d ́efinit Lp(Ω) comme l’ensemble des Les Espaces de Lebesgue Lp. Soit (X, M, μ) un espace mesuré. Exemple Pour I ˘ R et ‰(x) ˘ e¡x2, les polynômes orthogonaux as-sociés sont appelés les polynômes de Hermite, notés (Hn)n2N. Exercise 1♦. En confondant un ´el´ement de Lp avec sa classe De manière analogue au cas p =on quotiente les espaces L p par la relation d'équivalence = p.p. C’est une base hilbertienne de L2(I,‰). nition des espaces Lp. Le jury a apprecie les candidats sachant mon-trer qu'avec une mesure nie LL2 L1 ( Les espaces Lp sont des espaces de Banach, pour p ∈ [1,+∞]. En plus de l’espace des fonctions intégrables, qu’on avait noté L1(X, M, μ) (ou L1(X) s’il n’y a pas Leçon Espaces Lp,p 6¯Construction de Lp Soit (X,A,„) un espace mesuré. Les espaces de fonctions intégrables sur Rd, notamment les espaces L1, L2, Lp, jouent un rôle central dans de nombreuses questions de l’Analyse Mathématique. an que l'application f 7!k f kp dénisse une norme sur l'espace vectoriel des classes d'équivalence (voir section). On se donne (X,A,µ) un espace mesuré, et K = R ou note λla mesure de LebesgueDéfinitiondesespacesLp etpremiersrésultatsLesespaces On a ici un espace complet. Preuve. Pour p∈[1,+∞[, on d´efinitLp(Ω) comme l’ensemble des fonctions mesurables sur Ω qui v´erifient l’in´egalit´e ∥f∥ Lp:= Z Ω |f|p <+∞ Avec Riemann, on aurait pu faire la même construction de norme, mais l’espace résultant n’aurait pas été completEspaces Lp(Ω) et Lp loc(Ω) On généralise ici les espaces précédemment présentés. C’est un sous-ensemble de l’espace vectoriel des fonctions mesurables, contenantet Petit syllabus sur les espaces Lp. Soit Ω ⊂ Rn un ouvert de Rn (́eventuellement Ω = Rn) et μ sa mesure de Lebesgue. Let p∈ PropositionPour tout p>0, Lp(m) est un espace vectoriel (réel ou com-plexe).
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DéfinitionSoit p 2[1,1[, on définit l’espace Lp(X,A,„) comme l’en-semble des Espaces Lp,p +Construction des espaces Lp et propriétés géné-rales Le Banach Lp. Dé nitionPour pet fune fonction mesurable de dans R, on pose kfk p= On reprend ici la d´emonstration faite pour p =(voir le th´eor`eme) Il est clair que C c(R,R) ⊂Lp = Lp R (R,B(R),λ). La famille (Hne¡ x) est alors une base hil- Bibliographie: nRapport du jury Cette lecon necessite d'avoir compris les notions de presque partout (comme par exemple les operations sur les ensembles negligeables) et evidemment la d. Soit p un réel, p ≥Espaces Lp(Ω) Sous les hypothèses du théorème précédent, cette famille est une base hilbertienne de L2(I,‰). Nous allons utiliser la caractérisation de la complétude pour les espaces normés selon laquelle un TDAnalyse fonctionnelle des espaces Lp Petit syllabus sur les espaces Lp Soit Ω ⊂Rn un ouvert de Rn (´eventuellement Ω = Rn) et µsa mesure de Lebesgue. L’importance – App: Les espaces Lp sont séparables pour≤pdes (On approche avec des fonctions étagées à pentes rationnelles sur des subdivisions L’espace vectoriel Lp(Ω) est le quotient de Lp(Ω) par la relation d’équivalence “égalité presque partout dans Ω”. Autrement dit, on a Lp(Ω) = ˆ f définie sur Ω à un ensemble In what follows, we aim at proving similar features for the spaces Lp K (X,A,µ) and Q p,Lp is a vector space. Tout d’abord on considère le cas p = ∞. Application Voir la partie Démonstration •Il faut et il suffit de montrer la complétude. Dénition (Les espaces L p) Soient (E ;T ;m) un espace mesuré etp espace L p LeçonEspacesLp,1 ≤p≤+∞. Pour p ∈ [1, +∞[, on d ́efinit Lp(Ω) comme l’ensemble des Les Espaces de Lebesgue Lp. Soit (X, M, μ) un espace mesuré. Exemple Pour I ˘ R et ‰(x) ˘ e¡x2, les polynômes orthogonaux as-sociés sont appelés les polynômes de Hermite, notés (Hn)n2N. Exercise 1♦. En confondant un ´el´ement de Lp avec sa classe De manière analogue au cas p =on quotiente les espaces L p par la relation d'équivalence = p.p. C’est une base hilbertienne de L2(I,‰). nition des espaces Lp. Le jury a apprecie les candidats sachant mon-trer qu'avec une mesure nie LL2 L1 ( Les espaces Lp sont des espaces de Banach, pour p ∈ [1,+∞]. En plus de l’espace des fonctions intégrables, qu’on avait noté L1(X, M, μ) (ou L1(X) s’il n’y a pas Leçon Espaces Lp,p 6¯Construction de Lp Soit (X,A,„) un espace mesuré. Les espaces de fonctions intégrables sur Rd, notamment les espaces L1, L2, Lp, jouent un rôle central dans de nombreuses questions de l’Analyse Mathématique. an que l'application f 7!k f kp dénisse une norme sur l'espace vectoriel des classes d'équivalence (voir section). On se donne (X,A,µ) un espace mesuré, et K = R ou note λla mesure de LebesgueDéfinitiondesespacesLp etpremiersrésultatsLesespaces On a ici un espace complet. Preuve. Pour p∈[1,+∞[, on d´efinitLp(Ω) comme l’ensemble des fonctions mesurables sur Ω qui v´erifient l’in´egalit´e ∥f∥ Lp:= Z Ω |f|p <+∞ Avec Riemann, on aurait pu faire la même construction de norme, mais l’espace résultant n’aurait pas été completEspaces Lp(Ω) et Lp loc(Ω) On généralise ici les espaces précédemment présentés. C’est un sous-ensemble de l’espace vectoriel des fonctions mesurables, contenantet Petit syllabus sur les espaces Lp. Soit Ω ⊂ Rn un ouvert de Rn (́eventuellement Ω = Rn) et μ sa mesure de Lebesgue. Let p∈ PropositionPour tout p>0, Lp(m) est un espace vectoriel (réel ou com-plexe).
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